目标公式：

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}},T=\frac{2\pi r}{v},r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$$

适用范围/假设： 圆轨道（$r=\text{konst.}$）；卫星质量远小于中心天体（$m\ll M$，中心天体视为静止）；忽略空气阻力与其他天体的摄动；$r$ 从地心算起（= 地球半径 + 飞行高度）。

★ 真题相关： 地球同步卫星（geostationärer Satellit）的轨道半径推导是已证实的真题。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=m{\omega }^{2}r$	Zentripetalkraft(向心力)	✅ S. 2 („Zentripetalkraft")
$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz(万有引力定律)	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$v=\omega \cdot r$	Bahngeschwindigkeit(轨道速度)	✅ S. 2 („Bahngeschwindigkeit")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit(角速度)	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz/Schwingungsdauer(频率与周期)	✅ S. 2 („Frequenz/Schwingungsdauer"；与同页 $\omega =2\pi f$ 配合使用)
$\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsgeschwindigkeit——用于 $T=2\pi r/v$	✅ S. 2 („Durchschnittsgeschwindigkeit")
$v=\sqrt{GM/r}$，$r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{GM{T}^2/4{\pi }^2}$	轨道速度 / 同步轨道半径	❌ 不在 Formelnheft——考场需由 $F_Z=F_G$ 现场推（见下）

推导（Schritt für Schritt）

A）圆轨道速度 $v=\sqrt{GM/r}$

1. 物理出发点。 卫星沿圆轨道运行需要向心力（H04），而这里唯一向内拉的力是引力——引力担当向心力的角色：$$F_Z=F_G$$
2. 代入两个公式（均为 Formelnheft S. 2）：左边 $F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$，右边 $F_G=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$：$$\frac{m{v}^2}{r}=G\cdot \frac{Mm}{r^2}$$
3. 约掉卫星质量 $m$（两边同除以 $m$，允许因为 $m>0$）：$$\frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{M}{r^2}$$关键一步：轨道速度与卫星质量无关——同一轨道上羽毛与卡车同速（艾森豪威尔之问：由轨道数据算不出卫星质量）。
4. 两边同乘 $r$（右边约掉一个 $r$：$\frac{r}{r^2}=\frac{1}{r}$）：$$v^2=\frac{GM}{r}$$
5. 开平方（取正根，速度大小 $\ge 0$）：$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{\frac{GM}{r}}}}$$「越高越慢」：$r$ 在分母 ⇒ $r$ 越大 $v$ 越小。

B）周期 $T=2\pi r/v$

1. 匀速圆周运动中速率恒定，可用 $\overline{v}=\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ 且 $\overline{v}=v$。
2. 取一整圈：$\Delta s = $ 轨道周长 $U=2\pi r$（圆周长公式），$\mathrm{\Delta }t=T$：$$v=\frac{2\pi r}{T}⟹\boxed{{\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v}}}$$

C）算例：ISS（独立验算）

$R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m（S. 1），高度 $h=400$ km ⇒ $r\approx 6,77\cdot {10}^6$ m；$M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg、$G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²（均 S. 1）：

$$v=\sqrt{\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6,77\cdot {10}^6}}=\sqrt{5,89\cdot {10}^7}\approx 7670\text{m/s}\approx 7,7\text{km/s}✓$$$$T=\frac{2\pi \cdot 6,77\cdot {10}^6}{7670}\approx 5540\text{s}\approx 92\text{min}✓$$

（与讲义一致。贴地轨道 $r=R_E$ 给 $v\approx 7,9$ km/s——第一宇宙速度。）

D）★ 地球同步卫星 $r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{GM{T}^2/4{\pi }^2}$

思路： 这里给定的不是 $v$ 而是周期 $T$（一个恒星日——卫星须与地球自转同步）。所以把 $v$ 用 $T$ 表出，再解出 $r$。

1. 出发点同 A 第 4 步（引力担当向心力的结果）：$$v^2=\frac{GM}{r}$$
2. 把 $v$ 换成角速度（$v=\omega r$，S. 2；即 $v^2={\omega }^2{r}^2$）：$${\omega }^2{r}^2=\frac{GM}{r}$$
3. 两边同乘 $r$（右边的 $r$ 消去，左边幂次合并为 $r^3$）：$${\omega }^2{r}^3=GM$$
4. 把 $\omega$ 用 $T$ 表示。 一整圈 = 在时间 $T$ 内转过 $2\pi$：$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$（由 $\omega =2\pi f$ 与 $f=1/T$，均在册）。平方后代入：$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}\cdot r^3=GM$$
5. 解出 $r^3$（两边同乘 ${\displaystyle \frac{T^2}{4{\pi }^2}}$）：$$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$$
6. 开立方：$$\boxed{{\displaystyle r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}}$$
7. 算例（独立验算）。 $T=24\cdot 3600=86400$ s（整 24 h 近似；精确恒星日 $86164$ s 只改变结果约 80 km）：$$r=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}=\sqrt[3]{7,54\cdot {10}^{22}}\approx 4,22\cdot {10}^7\text{m}\approx 42200\text{km}✓$$距地面 $h=r-R_E\approx 42200-6371\approx 35800$ km ✓。顺带 $v=2\pi r/T\approx 3,1$ km/s——远慢于 ISS 的 $7,7$ km/s，再次印证「越高越慢」。 考试陷阱：$T$ 一定要换算成秒！ 另两个条件：轨道在赤道上空（轨道平面必须过地心）、与自转同向。

变量表

符号	含义	SI 单位
$v$	轨道速度	m/s
$r$，$r_{\text{geo}}$	轨道半径（从地心算起）；同步轨道半径	m
$m$	卫星质量（推导中约掉）	kg
$M$，$M_E$	中心天体质量；地球质量 $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg（Formelnheft S. 1）	kg
$G$	引力常数 $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg²（S. 1；讲义部分算例用 $\mathrm{6,674}$）	N·m²/kg²
$R_E$	地球半径 $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m（S. 1）	m
$F_Z$，$F_G$	向心力；引力	N
$T$	周期（同步卫星：1 恒星日 $\approx 86164$ s，常以 $86400$ s 近似）	s
$\omega$	角速度 $=2\pi /T$	rad/s
$f$	频率 $=1/T$	Hz
$U$	轨道周长 $=2\pi r$	m
$h$	距地面高度 $=r-R_E$	m

关联

• 所用向心力公式的推导 → H04
• $v_{\text{Kreis}}$ 与逃逸速度的 $\sqrt{2}$ 关系、轨道能量 → H06
• 讲义出处：主题 2 §2.2（逐步推导 + ISS 算例）、主题 2 §2.3（同步轨道）、主题 11 §11.1（引力定律）、主题 8 §8.7（$F_Z=F_{\text{力}}$ 套路）